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遵义师范学院 2020 年“专升本”数学与应用数学专业考试大纲
一、 考试总体要求
要求考生全面、系统地掌握高等代数的基本概念、基本
定理、典型方法和若干应用实例,并且能灵活运用所学知识
阐述解决实际问题的方法和途径。
二、考试科目
《高等代数》
三、考试形式
闭卷、笔试、满分 150 分、考试时限 150 分钟。
四、考试内容
本课程选用的教材是由高等教育出版社出版的张禾瑞,
郝炳新编写的《高等代数》(第五版)。考试内容所含知识
点,知识点的所属层次及各章节知识点参考下表。
高等代数考试内容及基本要求
章 | 节 | 知 识 点 | 层次要求 | ||||
了解 | 理解 | 掌握 | 应用 | ||||
第 | §1.1 集合 | 集合的概念、关系、运算 | √ | ||||
一 | §1.2 映射 | 映射、单射、满射、双射、 | √ | ||||
章 | 逆映射 | ||||||
§1.3 数学 | 最小数原理、第一数学归 | √ | |||||
基 | 归纳法 | 纳法 | |||||
本 | §1.4 整数 | 整除的定义、带余除法 | √ | ||||
概 | |||||||
素数、合数 | √ | ||||||
念 | 的整除性质 | ||||||
最大公因数 | √ | ||||||
§1.5 数环 | 数环 | √ | |||||
与数域 | |||||||
数域 | √ | ||||||
§2.1 一元 | 一元多项式的定义,数域 | ||||||
P 上的多项式相等,多项 | |||||||
多项式的定 | √ | ||||||
义和运算 | 式的加法、减法、乘法及 | ||||||
其运算律 | |||||||
§2.2 整除 | 带余除法,整除的概念及 | √ | |||||
的概念 | 其基本性质 | ||||||
公因式、最大公因式、两 | √ | ||||||
个多项式互素。 | |||||||
§2.3 最大 | 最大公因式的求法;最大 | ||||||
公因式的性质、两个多项 | |||||||
公因式 | |||||||
式互素的充要条件性质、 | √ | ||||||
两个多项式互素的充要条 | |||||||
件。 | |||||||
不可约多项式的概念和性 | √ | ||||||
§2.4 多项 | 质 | ||||||
第 | 式的分解 | 因式分解及唯一性定理; | √ | ||||
标准分解式 | |||||||
二 | |||||||
§2.5 重因 | 重因式的概念及其性质; | ||||||
章 | |||||||
多项式有无重因式的判别 | √ | ||||||
一 | 式 | ||||||
法 | |||||||
元 | |||||||
多 | 余数定理;多项式的根的 | √ | |||||
项 | 重根;根的个数定理 | ||||||
式 | §2.6 多项 | ||||||
重根与重因式的关系,重 | |||||||
式函数 多 | √ | ||||||
根判别法 | |||||||
项式的根 | |||||||
综合除法,拉格朗日插值 | √ | ||||||
公式 | |||||||
代数基本定理,复系数多 | |||||||
项式因式分解定理,复系 | √ | ||||||
§2.7 复系 | 数多项式标准分解式 | ||||||
数与实系数 | |||||||
实函数多项式的非实复根 | |||||||
多项式的因 | 共轭成对,奇(偶数)次 | ||||||
式分解 | 实系数多项式的实根个 | √ | |||||
数,实系数多项式因式分 | |||||||
解定理 | |||||||
§2. 8 有理 | 有理系数多项式与整系数 | ||||||
多项式的关系、本原多项 | √ | ||||||
系数多项式 | |||||||
式、高斯引理 | |||||||
非零的整系数多项式在有 | √ | ||||||
理数域上可约的性质。 | |||||||
整系数多项式有理根的求 | |||||||
法,有理系数多项式无理 | √ | ||||||
根共轭成对。 | |||||||
艾森斯坦因判别法,一些 | √ | ||||||
无理数的证明方法 | |||||||
§3.1 线性 | 线性方程组的解与行列式 | ||||||
方程组及行 | √ | ||||||
的关系 | |||||||
列式 | |||||||
§3.2 排列 | 排列及其逆序数、奇偶性, | √ | |||||
对换改变排列的奇偶性 | |||||||
第 | §3.3 n 阶 | 行列式的定义 | √ | ||||
三 | |||||||
行列式 | 基本性质 | √ | |||||
章 | |||||||
§3.4 子式 | 矩阵及其初等变换与行列 | √ | |||||
计算的关系 | |||||||
行 | 和代数余子 | ||||||
将行列式化为三角形行列 | |||||||
列 | √ | ||||||
式 行列式 | 式 | ||||||
式 | |||||||
的依行依列 | 子式、余子式、代数余子 | ||||||
式,主要公式 | √ | ||||||
展开 | |||||||
§3.5 克拉 | 解系数行列式不为零的线 | √ | |||||
默规则 | 性方程组 | ||||||
第 | §4.1 消元 | 消元法的基本思想、线性 | |||||
方程组的初等变换与矩阵 | √ | ||||||
四 | 法 | ||||||
的初等变换 | |||||||
章 | |||||||
§4.2 矩阵 | 矩阵的秩的定义、用初等 | ||||||
的秩 线性 | |||||||
变换求矩阵的秩、线性方 | √ | ||||||
方程组有解 | |||||||
线 | 程组有解的判别法 | ||||||
的判别法 | |||||||
性 | |||||||
线性方程组的公式解、齐 | |||||||
方 | §4.3. 线 | ||||||
次线性方程组及其非零解 | |||||||
程 | 性方程组的 | √ | |||||
的概念、 齐次线性方程组 | |||||||
组 | 公式解 | ||||||
有非零解的条件 | |||||||
第 | 加法、数乘以及运算律; | √ | |||||
五 | §5.1 矩阵 | 转置 | |||||
的运算 | |||||||
章 | 定义及其运算律;矩阵乘 | √ | |||||
积的行列式与秩 | |||||||
§5.2 可逆 | 定义;可逆的条件;矩阵 | √ | |||||
矩 | 矩阵 矩阵 | 的求法;可逆矩阵的性质 | |||||
阵 | 乘积的行列 | 初等矩阵定义及性质;初 | |||||
式 | 等矩阵与矩阵初等变换的 | ||||||
√ | |||||||
关系;初等变换求逆;初 | |||||||
等变换解矩阵方程 | |||||||
§5.3 矩阵 | 分块运算;一些可逆矩阵 | √ | |||||
的分块 | 分块求逆 | ||||||
§6.1 | |||||||
定义和例 | 向量空间概念与性质 | √ | |||||
子 | |||||||
§6.2 | 向量空间的子空间 | √ | |||||
交子空间、和子空间 | √ | ||||||
子空间 | |||||||
子空间的判定定理 | √ | ||||||
§6.3向量 | 向量的线性组合 | √ | |||||
线性相关、线性无关 | √ | ||||||
的线性相关 | |||||||
极大线性无关组 | √ | ||||||
第 | 性 | ||||||
向量组的等价 | √ | ||||||
六 | |||||||
章 | §6.4 | 向量空间的基、维数 | √ | ||||
向 | |||||||
向量空间的维数公式 | √ | ||||||
量 | 基和维数 | ||||||
余子空间 | √ | ||||||
空 | |||||||
§6.5 | 向量由基的表示式、坐标 | √ | |||||
间 | |||||||
坐 标 | 过渡矩阵、坐标变换公式 | √ | |||||
§6.6向量 | 向量空间之间的同构映射 | √ | |||||
空间的同构 | |||||||
向量空间同构的充要条件 | √ | ||||||
§6.7矩阵 | 矩阵的行空间、列空间 | √ | |||||
的秩齐次线 | |||||||
行(列)空间的维数与矩 | √ | ||||||
性方程组的 | |||||||
阵的秩 | |||||||
解空间 | |||||||
齐次线性方程的解空间 | √ | ||||||
基础解系、解空间的结构 | √ | ||||||
第 | §7.1 | 两个向量空间的线性映射 | √ | ||||
七 | 线性映射 | ||||||
映射的像 Im(σ)与核 | √ | ||||||
章 | |||||||
向量空间到自身的线性变 | √ | ||||||
§7.2 | 换 | ||||||
线 | 线性变换 | 线性变换的和、数乘线性 | √ | ||||
变换 | |||||||
的运算 | |||||||
性 | |||||||
变 | 线性变换的乘积、逆线性 | √ | |||||
线性变换在一个基下的矩 | |||||||
§7.3 | 阵、矩阵确定的线性变换、 | ||||||
线性变换 | 线性变换的运算与相应的 | √ | |||||
和矩阵 | 矩阵运算、同一个线性变 | ||||||
换在不同基下矩阵的关系 | |||||||
子空间的不变性、像不变 | |||||||
§7.4 | 子空间、核不变子空间、 | √ | |||||
不变子空间 | 不变子空间与线性变换的 | ||||||
对角化之间的关系 | |||||||
§7.5 | 线性变换的特征值与特征 | ||||||
本证值和 | 向量,矩阵的特征多项式、 | √ | |||||
本证向量 | 特征根与特征向量 | ||||||
§7.6可以 | 线性变换可以对角化的充 | ||||||
对角化的矩 | √ | ||||||
阵 | 分必要条件 | ||||||
第 | §8.1 | ||||||
八 | 内积、欧氏空间的概念 | √ | |||||
向量的内积 | |||||||
章 | |||||||
标准正交基、正交矩阵的 | √ | ||||||
氏 | 定义 | ||||||
空 | §8.2 | ||||||
向量的正交性、正交向量 | |||||||
间 | 正交基 | 组、正交基、标准正交基、 | √ | ||||
施密特正交化方法、正交 | |||||||
矩阵 | |||||||
§8.3 | 正交变换的概念和性质, | √ | |||||
正交变换 | 正交变换的四个等价条件 | ||||||
§8.4 | 对称变换、对称矩阵 | √ | |||||
对称变换和 | |||||||
对称变换的对角化问题、 | √ | ||||||
对称矩阵 | |||||||
实对称矩阵的特征值问题 | |||||||
二次型概念 | √ | ||||||
§9.1 | |||||||
第 | 矩阵表示;非退化线性替 | ||||||
二次型和 | 换;矩阵合同的定义与性 | ||||||
九 | |||||||
对称矩阵 | √ | ||||||
质;二次型等价与矩阵合 | |||||||
章 | |||||||
同的关系 | |||||||
二次型可经非退化线性替 | √ | ||||||
§9.2 | 换化成平方和的形式 | ||||||
二 | |||||||
二次型的标准形定义及其 | |||||||
次 | 复数域和实 | √ | |||||
型 | 数域上的二 | 求法 | |||||
次型 | 复二次型的规范形,实二 | √ | |||||
次型的规范形、惯性定理 | |||||||
正定矩阵 | √ | ||||||
§9.3 | 实二次型(实对称矩阵) | √ | |||||
正定的性质与判别方法 | |||||||
正定二次型 | |||||||
正交变换化实二次型为标 | √ | ||||||
准形 | |||||||
五、试卷结构
试卷题型分为填空、选择(单项)、判断、计算、证明,
小题总量在 26—32 个之间,试卷总分为 150 分。小题数在
题型中的分配参考下表:
题 | 型 | 选择题 | 填空题 | 判断题 | 计算题 | 证明题 |
小题数 | 6-8 个 | 6-8 个 | 6-8 个 | 4-6 个 | 3-4 个 | |
分 值 | 24-32 分 | 24-32 分 | 24-32 分 | 40-60 分 | 30-40 分 |
六、参考教材
1. 张禾瑞、郝炳新《高等代数》第五版 高等教育出版社
2. 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》(第二版)